如何用数学证明“只可意会，不可言传”？
作者：黄逸文（中国科学院数学与系统科学研究院）
在生活中，我们常常听到人们谈起某件事、某种感受、某类技艺时感叹：只可意会、不可言传。
那么，究竟是人类的语言词汇贫乏，还是真的有某种神秘的力量让人臣服于大脑表达的无能呢？让我们从数学家哥德尔说起。
库尔特·哥德尔(Kurt Godel)数学家、逻辑学家和哲学家。
哥德尔（1906-1978），著名数学家、逻辑学家、哲学家，生于捷克的布尔诺，1924年到维也纳大学攻读物理，两年后转读数学系，1930年获博士学位。后来，哥德尔去了普林斯顿高等研究院，在那里，他成了爱因斯坦一直找寻的谈伴，并被爱因斯坦视为知音。
他被誉为自亚里士多德以来人类最伟大的逻辑学家。计算机之父冯·诺依曼曾这样评价他：“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的——他的不朽甚至超过了纪念碑，他是一个里程碑，是永存的纪念碑。”
那么，哥德尔究竟做出了什么贡献，让人们赋予他如此伟大的光环呢？
哥德尔与好友爱因斯坦
这就不得不说到哥德尔在1931年证明的一个定理——“哥德尔不完备定理”，正是这个定理让哥德尔名垂千古。这个定理的成果直接影响到了今天的人工智能和大脑神经科学的前沿，并且也必将在未来人类的发展中起到至关重要的作用。
“哥德尔不完备定理”的主要内容可以如下表示：
在任何一个相容的形式化数学理论中，只要它可以在其中定义自然数的概念，就可以在其中找出一个命题，在该系统中既不能证明它为真，也不能证明它为假。
换句话说：一个包含自然数的体系下，存在着一个问题，在该体系的基础公理下永远也不能证明该问题是对的，同时也永远无法证明该问题是错的。
在数学的历史上，曾经多次出现这样的问题。
举世闻名的费马大定理就曾经让数学家陷入这样的困惑。在三百多年的漫长探索中，很多数学家对费马大定理是否能证明或给出反例都表示出了极大的悲观。而另外两个世界知名的数学难题——哥德巴赫猜想和黎曼猜想，由于哥德尔提出了幽灵般的不完备定理，迄今为止，也被少数数学家悲观地预测为不能证明也不能否证的问题。
但是，这也并不表示此类问题就没有解决的希望，只不过是基于数论的基础公理无法证明该类问题而已，人们需要利用其它形式系统的方法来实现跨界证明。费马大定理最后就是利用椭圆曲线的工具才得以完美解决，1995年，英国数学家怀尔斯在潜心面壁8年后终于解决了这个困扰人类358年的难题。
如果哥德尔不完备定理只是在数学领域显示出顽强生命力的话，那么它的影响力要有限得多，而让它真正大放异彩的，是其随后在计算机和人工智能浪潮中的应用 。
电影《我，机器人》中的人工智能机器人桑尼
数学的基础是建立在一系列的公理之上，在逻辑推理的辅助下往各个方向无限延伸。构成数学推理的语言是一套符号运算系统，在基本公理的奠基下，人们可以依靠逻辑递归地推导出一系列毋庸置疑的结论。
哥德尔不完备定理其实揭示了这种基于数论有限公理的形式主义逻辑的不完备性。即人们可以在其中添加无限多的公理而与之前的公理没有任何矛盾，且这些新加入的公理无法用之前的公理递归枚举得出。这对当代的计算机科学有着深远的影响。
众所周知，现代的计算机都是基于冯·诺依曼提出的二进制数字运算的基本原理和一系列基础公理，其执行一般由输入、处理和输出组成。尽管计算机在速度和执行效率上有了日新月异的发展，但是其处理数据的思路仍然是基于一定的递归规则运算来判断命题的真伪，从而输出结果。
然而哥德尔不完备定理却无情地揭示了计算机的隐患：至少存在一个命题，递归程序无法判断其真伪。系统在处理这样的问题时必然陷入无限卡壳的状态。
解决这一致命缺陷的办法只有无限扩展公理集，但由于计算机的存储始终是有限的，因此我们永远也无法造出完美的计算机。这样，基于冯·诺依曼理论构建的计算机从诞生开始就有着先天的“基因”缺陷。
也正因为如此，一些数学家认为人类的“直觉”不受该定理的限制，所以计算机永远不可能具有人脑的能力。人工智能无论如何发展，也无法具备人类的智慧。
电影《我，机器人》截图
但另外一些研究指出人类思维也是不完备的，人脑的“思考”和电脑的“运算”基本原理一致。
电脑用电子元件的“开、闭”和电信号的传递，人脑则相应表现为神经原的“冲动、抑制”和化学信号的传递。
这种相似的联系直接导致人脑的思考也是符合哥德尔不完备定理的条件的，因此人类的思维系统也是不完备的。
在生活实践中，人们是通过思考来建立对世界的客观认识和描述的，而语言则是人们彼此交流思考结果的有力工具。
对人脑而言，思维推理系统的不完备也就意味着存在不能用思维证实的问题。
简而言之，现实中总有那么一些问题或者想法，我们无法用思维来证实或者否定它，从而也就无法用语言来完全准确的表达我们的思想。由于思维是客观实在的近似反映，语言则是思维的近似表达。
这就是我们“只可意会、不可言传”背后的数学原因。
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